Geometrie analitica si diferentiala

Geometrie analitica si diferentiala

Hiperbola

Fie $$F, F'$$ doua puncte in plan si $$a>0$$. Locul geometric al punctelor $$M$$ din plan cu proprietatea $$|MF-MF'|=2a$$ se numeste hiperbola.

Punctele $$F,F'$$ se numesc focarele hiperbolei, dreapta $$FF'$$ se numeste axa focala, distanta dintre focare se numeste distanta focala ($$FF'=2c>2a$$), iar
distantele $$MF$$ si $$MF'$$ se numesc raze focale.

Ecuatia carteziana implicita a hiperbolei este:

@d\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-1=0@d

Axele $$Ox$$ si $$Oy$$ sunt axe de simetrie ale hiperbolei, iar $$O$$ este centru de simetrie al hiperbolei.

Intersectiile hiperbolei cu axa $$Ox$$, punctele $$A(a,0)$$, $$A'(-a,0)$$, se numesc varfurile hiperbolei, iar axa $$Ox$$ se numeste axa transversa a hiperbolei.

Dreptele de ecuatii $$y=\displaystyle\pm\frac{b}{a}x$$ sunt asimptotele hiperbolei si se obtin ca asimptote oblice ale functiilor $$f_1(x)=\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$$ si $$f_2(x)=-\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}.$$

Daca $$a=b$$, hiperbola are ecuatia $$x^2-y^2=a^2$$ si se numeste hiperbola echilatera, iar asimptotele sunt bisectoarele axelor $$y=x$$ si $$y=-x$$. O ecuatie de forma $$xy=\pm a^2$$ reprezinta tot o hiperbola echilatera, avand ca asimptote axele de coordonate, iar ca axe de simetrie bisectoarele axelor.

Raportul $$\displaystyle e=\frac{c}{a}<1$$ se numeste excentricitatea hiperbolei. Avem $$\frac{b}{a}=\sqrt{e^2-1}$$, deci excentricitatea caracterizeaza forma hiperbolei.

Ecuatiile parametrice ale hiperbolei sunt $$\displaystyle\begin{cases}x=a\operatorname{ch} t\\y=b\operatorname{sh} t\end{cases},\ t\in\mathbb{R}$$.

Ecuatia tangentei la hiperbola dusa printr-un punct $$M_0(x_0,y_0)$$ de pe hiperbola se obtine prin dedublare: $$\displaystyle\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}-1=0.$$

Tags:
Skip Navigation

Navigation