Geometrie analitica si diferentiala

Geometrie analitica si diferentiala

Elipsa

Fie $$F, F'$$ doua puncte in plan si $$a>0$$. Locul geometric al punctelor $$M$$ din plan cu proprietatea @dMF+MF'=2a @d se numeste elipsa.

Punctele $$F,F'$$ se numesc focarele elipsei, dreapta $$FF'$$ se numeste axa focala, distanta dintre focare se numeste distanta focala ($$FF'=2c<2a$$), iar distantele $$MF$$ si $$MF'$$ se numesc raze focale.

Ecuatia carteziana implicita a elipsei este:

@d\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0.@d

$$Ox$$ si $$Oy$$ sunt axe de simetrie ale elipsei, iar $$O$$ este centru de simetrie al elipsei.

Intersectiile elipsei cu axele de coordonate, punctele $$A(a,0)$$, $$A'(-a,0)$$, $$B(0,b)$$, $$B'(0,-b)$$ se numesc varfurile elipsei.

$$\|\vec{OA}\|=a$$ si $$\|\vec{OB}\|=b$$ se numesc semiaxa mare si respectiv semiaxa mica a elipsei.

Raportul $$\displaystyle e=\frac{c}{a}<1$$ se numeste excentricitatea elipsei. Avem $$\frac{b}{a}=\sqrt{1-e^2}$$, deci excentricitatea caracterizeaza forma elipsei.

Ecuatiile parametrice ale elipsei sunt $$\displaystyle\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases},\ t\in[0,2\pi)$$.

Ecuatia tangentei la elipsa dusa printr-un punct $$M_0(x_0,y_0)$$ de pe elipsa se obtine prin dedublare: $$\displaystyle\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}-1=0.$$

Tags:
Skip Navigation

Navigation