# Geometrie analitica si diferentiala

Geometrie analitica si diferentiala

## Elipsa

Fie $F, F'$ doua puncte in plan si $a>0$. Locul geometric al punctelor $M$ din plan cu proprietatea $$MF+MF'=2a$$ se numeste elipsa.

Punctele $F,F'$ se numesc focarele elipsei, dreapta $FF'$ se numeste axa focala, distanta dintre focare se numeste distanta focala ($FF'=2c<2a$), iar distantele $MF$ si $MF'$ se numesc raze focale.

Ecuatia carteziana implicita a elipsei este:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0.$$

$Ox$ si $Oy$ sunt axe de simetrie ale elipsei, iar $O$ este centru de simetrie al elipsei.

Intersectiile elipsei cu axele de coordonate, punctele $A(a,0)$, $A'(-a,0)$, $B(0,b)$, $B'(0,-b)$ se numesc varfurile elipsei.

$\|\vec{OA}\|=a$ si $\|\vec{OB}\|=b$ se numesc semiaxa mare si respectiv semiaxa mica a elipsei.

Raportul $\displaystyle e=\frac{c}{a}<1$ se numeste excentricitatea elipsei. Avem $\frac{b}{a}=\sqrt{1-e^2}$, deci excentricitatea caracterizeaza forma elipsei.

Ecuatiile parametrice ale elipsei sunt $\displaystyle\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases},\ t\in[0,2\pi)$.

Ecuatia tangentei la elipsa dusa printr-un punct $M_0(x_0,y_0)$ de pe elipsa se obtine prin dedublare: $\displaystyle\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}-1=0.$

Tags: