Trigonometrie plana si sferica

Trigonometrie plana si sferica

Aplicatii practice ale trigonometriei in topografie si geodezie

1. Determinarea inaltimii unui obiect vertical

  • Daca punctul de la baza obiectului ce trebuie masurat este accesibil. Notam cu $$h$$ inaltimea obiectului, $$d$$ distanta de la observator la baza obiectului si $$\alpha$$ unghiul de elevatie (determinat cu teodolitul). Atunci@dh=d\operatorname{tg}\alpha.@d
  • Daca punctul de la baza obiectului este inaccesibil (metoda 1).
    Se determina cu ajutorul teodolitului unghiurile de elevatie $$\alpha$$ si $$\beta$$ ale obiectului din doua puncte distincte coliniare cu baza obiectului, aflate la distanta $$d$$ unul de celalalt. Atunci:
    @dh=\frac{d}{\operatorname{ctg}\alpha-\operatorname{ctg}\beta}=\frac{d\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\beta-\alpha)}.@d
    Daca obiectul este situat pe un plan inclinat (de panta $$\operatorname{tg}\varphi$$) atunci:
    @dh=\frac{d\sin\alpha\sin\beta}{\cos\varphi\sin(\beta-\alpha)}.@d
  • Daca punctul de la baza obiectului este inaccesibil (metoda 2)
    Fie $$P_1$$ si $$P_2$$ doua puncte in planul orizontal necoliniare cu baza obiectului $$B$$. Notam cu $$\gamma_1$$ si $$\gamma_2$$ unghiurile facute de $$BP_1$$ si $$BP_2$$ cu $$P_1P_2$$, si cu $$\alpha_1,\alpha_2$$ unghiurile de elevatie masurate in $$P_1$$, respectiv $$P_2$$. Daca $$d$$ este distanta dintre $$P_1$$ si $$P_2$$, atunci:
    @dh=\frac{d\operatorname{tg}\alpha_1\sin\gamma_2}{\sin(\gamma_1+\gamma_2)}=\frac{d\operatorname{tg}\alpha_2\sin\gamma_1}{\sin(\gamma_1+\gamma_2)}@d
    Daca se cunoaste doar unul dintre unghiurile $$\gamma_1$$ si $$\gamma_2$$, avem $$BP_1=h\operatorname{ctg}\alpha_1$$ si $$BP_2=h\operatorname{ctg}\alpha_2$$, iar aplicand teorema cosinusului in $$\triangle BP_1P_2$$ pentru unghiul cunoscut se obtine $$h$$.

2. Determinarea distantei dintre doua puncte accesibile despartite printr-un obstacol

Fie $$A$$ si $$B$$ cele doua puncte despartite printr-un obstacol. Se alege un punct $$C$$ din care se vad punctele $$A$$ si $$B$$ si se masoara distantele $$AC=b$$ si $$BC=a$$. Se determina unghiul $$C=\measuredangle ACB$$. Distanta $$c=AB$$ se determina din triunghiul $$ABC$$ cu teorema lui Pitagora generalizata:@dc^2=a^2+b^2-2ab\cos C.@d

3. Determinarea distantei dintre un punct accesibil si unul inaccesibil

Fie punctul accesibil $$A$$ si un punct $$B$$ inaccesibil observatorului. Se alege un punct $$C$$ din care se vad punctele anterioare $$A$$ si $$B$$, punctul $$B$$ fiind despartit de punctele $$A$$ si $$C$$ printr-un obstacol. Se masoara distanta $$CA=d$$ si unghiurile $$\measuredangle CAB=\alpha$$ si $$\measuredangle ACB=\gamma$$. Pentru determinarea distantei $$AB=x$$ se aplica teorema sinusurilor in triunghiul $$ABC$$. Obtinem @dx=\frac{d\sin\gamma}{\sin(\alpha+\gamma)}@d

4. Determinarea distantei dintre doua puncte vizibile dar inaccesibile

Fie $$A$$ si $$B$$ cele doua puncte inaccesibile observatorului. Se aleg alte doua puncte $$C$$ si $$D$$ din care se vad punctele $$A$$ si $$B$$ dar sunt despartite printr-un obstacol de acestea. Se masoara distanta $$CD=d$$, precum si unghiurile $$\measuredangle ACB=\alpha_1$$, $$\measuredangle BCD=\alpha_2$$, $$\measuredangle ADB=\beta_1$$ si $$\measuredangle ADC=\beta_1$$. Din teorema sinusurilor aplicata in triunghiul $$BCD$$ rezulta
@dBC=\frac{d\sin(\beta_1+\beta_2)}{\sin(\alpha_2+\beta_1+\beta_2)}@d
Din teorema sinusurilor aplicata in triunghiul $$ACD$$ rezulta
@dAC=\frac{d\sin\beta_2}{\sin(\beta_2+\alpha_1+\alpha_2)}@d
Distanta cautata se obtine din triunghiul $$ABC$$: @dAB^2=AC^2+BC^2-2AC\cdot BC\cdot\cos\alpha_1@d

Tags:
Skip Navigation

Navigation