Trigonometrie plana si sferica

Trigonometrie plana si sferica

Rezolvarea triunghiurilor

Un triunghi dreptunghic poate fi rezolvat daca sunt cunoscute (in afara de unghiul drept $$A=90^0$$) urmatoarele elemente:
1. cele doua catete $$b$$ si $$c$$
2. ipotenuza $$a$$ si o cateta $$b$$ (sau $$c$$)
3. ipotenuza $$a$$ si un unghi ascutit $$B$$ (sau $$C$$)
4. o cateta si unghiul opus ei ($$b$$ si $$B$$, sau $$c$$ si $$C$$)

CazDateNecunoscuteUnghiuriLaturiArie
 1$$b,c$$$$B,C,a,S$$ $$\operatorname{tg}B=\frac{b}{c},\operatorname{tg}C=\frac{c}{b}$$$$a^2=b^2+c^2$$ $$S=\frac{1}{2}bc$$ 
 2$$a,b$$ $$B,C,c,S$$$$\sin B=\cos C=\frac{b}{a}$$$$c^2=a^2-b^2$$$$S=\frac{1}{2}b\sqrt{a^2-b^2}$$ 
 3$$a,B$$ $$C,b,c,S$$ $$C=90^0-B$$$$\begin{array}{c}b=a\sin B\\c=a\cos B\end{array}$$ $$S=\frac{1}{4}a^2\sin2B$$ 
 4$$b,B$$ $$C,a,c,S$$ $$C=90^0-B$$$$\begin{array}{c}a=\frac{b}{\sin B}\\c=b\operatorname{ctg} B\end{array}$$ $$S=\frac{1}{2}b^2\operatorname{ctg} B$$ 

Un triunghi oarecare poate fi rezolvat daca sunt cunoscute urmatoarele elemente:

1. doua laturi si unghiul dintre ele (cazul L.U.L.)

2. o latura si doua unghiuri (cazul U.L.U.)

3. toate cele trei laturi (cazul L.L.L.)

4. doua laturi si unghiul opus uneia dintre ele (cazul L.L.U.)

CazDateNecunoscuteUnghiuriLaturi
L.U.L.$$a,C,b$$$$A,B,c$$$$\begin{cases}A+B=180^0-C\\\operatorname{tg}\frac{A-B}{2}=\frac{a-b}{a+b}\cdot\operatorname{ctg}\frac{C}{2}\end{cases}$$$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C $$
U.L.U.$$B,a,C$$$$A,b,c$$ $$A=180^0-(B+C)$$$$b=\frac{a\sin B}{\sin A},\ c=\frac{a\sin C}{\sin A}$$ 
L.L.L.$$a,b,c$$ $$A,B,C$$$$\begin{array}{c}\operatorname{tg}\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}\\ \operatorname{tg}\frac{B}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-c)}{p(p-b)}}\\\operatorname{tg}\frac{C}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}\end{array}$$ 
L.L.U.$$a,b,A$$ $$B,C,c$$ $$\begin{array}{c}\sin B=\frac{b\sin A}{a}\\C=180^0-(A+B)\end{array}$$$$\begin{array}{c}c^2-2bc\cos A+b^2-a^2=0\\(\text{ecuatie de gr. 2 in }c)\end{array}$$
Tags:
Skip Navigation

Navigation