Trigonometrie plana si sferica

Trigonometrie plana si sferica

Numere complexe sub forma trigonometrica

Numerele complexe pot fi reprezentate prin puncte in plan astfel: punctul $$M(x,y)$$ se numeste imaginea geometrica a numarului complex $$z=x+yi$$ si invers, numarul complex $$z=x+yi$$ se numeste afixul punctului $$M(x,y)$$.

Numerelor reale corespund puncte de pe axa $$Ox$$ (numita axa reala), iar numerelor pur imaginare corespund puncte de pe axa $$Oy$$ (numita axa imaginara).

Pentru adunarea si scaderea numerelor complexe se poate folosi regula paralelogramului pentru vectorii de pozitie corespunzatori imaginilor acestor numere complexe.

Distanta dintre imaginile a doua numere complexe este egala cu modulul diferentei dintre aceste numere: @d |z_1-z_2|=\left|(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)\right|=\sqrt{
    (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}@d

Folosind coordonatele polare ale punctelor din plan $$\begin{cases}x=\rho\cos\theta\\y=\rho\sin\theta\end{cases}$$ obtinem forma trigonometrica a numerelor complexe:@d z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)@d

$$\rho=\sqrt{x^2+y^2}\ge0$$ este chiar modulul lui $$z$$, iar $$\theta\in[0,2\pi)$$ (cu $$\operatorname{tg}\theta=\frac{y}{x}$$) se numeste argumentul lui $$z$$ si se noteaza cu $$\arg z$$

Folosind formula lui Euler @d e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta@d se obtine forma exponentiala a numerelor complexe $$z=\rho e^{i\theta}$$.

Avem $$e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta$$, deci conjugatul $$\bar{z}=\rho e^{-i\theta}$$.

Pentru inmultirea si impartirea numerelor complexe se pot folosi formele trigonometrice sau exponentiale. Daca $$z_1=\rho_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)=\rho_1e^{i\theta_1}$$ si $$z_2=\rho_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)=\rho_2e^{i\theta_2}$$ atunci: \begin{eqnarray*}z_1\cdot z_2&=&\rho_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)\cdot\rho_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)=\\
    &=&\rho_1\rho_2\left[\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2+
    i(\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2)\right]\\
    &=&\rho_1\rho_2
    \left[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\right]\\
    &=&\rho_1e^{i\theta_1}\cdot\rho_2e^{i\theta_2}=\rho_1\rho_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}\\
\frac{z_1}{z_2}&=&\frac{\rho_1}{\rho_2}
    \left[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\right]=\frac{\rho_1e^{i\theta_1}}{\rho_2e^{i\theta_2}}=\frac{\rho_1}{\rho_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}
    \end{eqnarray*}
Formula lui Moivre: @d z^n=\left[\rho(\cos\theta+i\sin\theta)\right]^n=\rho^n\left[\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\right]@d

Ecuatia binoma $$z^n=a$$, unde $$a=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)\in\mathbb{C}$$ are radacinile complexe \begin{equation}\label{ecbin}z_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\alpha+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right),\ k=0,1,\dots,n-1.\end{equation}

Pentru $$a=1=\cos0+i\sin0$$ se obtine @dz_k=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n},\ k=0,1,\dots,n-1@d care se numesc radacinile de ordinul $$n$$ ale unitatii.

Radacinile ecuatiei binome pot fi rescrise @dz_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\alpha}{n}+i\sin\frac{\alpha}{n}\right)\left(\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}\right),\ k=0,1,\dots,n-1.@d asadar se obtin dintr-o radacina a ecuatiei binome prin inmultire cu radacinile de ordinul $$n$$ ale unitatii.

Tags:
Skip Navigation

Navigation