Geometrie analitica si diferentiala

Forma canonica la cuadrice

Fie cuadrica definita prin ecuatia generala
@d\underbrace{a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}}_{f(x,y,z)}=0,@d

Cautam o translatie a sistemului $$Oxyz$$ astfel incat originea noului sistem de coordonate $$C(x_0,y_0,z_0)$$ sa fie centru de simetrie al cuadricei. Relatiile dintre coordonatele $$x,y,z$$ din reperul initial $$\{O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\}$$ si coordonatele $$x',y',z'$$ din sistemul translatat $$\{C;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\}$$ sunt:
@d\begin{cases}x=x_0+x'\\y=y_0+y'\\z=z_0+z'\end{cases} @d

Inlocuind in ecuatia initiala a cuadricei obtinem
@da_{11}x'^2+a_{22}y'^2+a_{33}z'^2+2a_{12}x'y'+2a_{13}x'z'+2a_{23}y'z'+2a_{14}'x'+2a_{24}'y'+2a_{34}'z'+a_{44}'=0,@d
unde $$\begin{cases}a_{14}'=a_{11}x_0+a_{12}y_0+a_{13}z_0+a_{14} \\a_{24}'=a_{12}x_0+a_{22}y_0+a_{23}z_0+a_{24} \\
a_{34}'=a_{13}x_0+a_{23}y_0+a_{33}z_0+a_{34}\end{cases}$$, iar $$a_{44}'=f(x_0,y_0,z_0)$$.

Pentru ca $$C(x_0,y_0,z_0)$$ sa fie centru de simetrie, trebuie ca ecuatia in noile coordonate sa nu contina termeni de gradul 1, asadar $$a_{14}'=a_{24}'=a_{34}'=0 $$, deci $$(x_0,y_0,z_0)$$ sunt solutii ale sistemului
@d\begin{cases}a_{11}x_0+a_{12}y_0+a_{13}z_0+a_{14}=0\\a_{12}x_0+a_{22}y_0+a_{23}z_0+a_{24}=0\\
a_{13}x_0+a_{23}y_0+a_{33}z_0+a_{34}=0\end{cases}. @d

Daca $$\delta=\left|\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{array}\right|\ne0$$, sistemul anterior are solutie unica, iar ecuatia cuadricei este
@da_{11}x'^2+a_{22}y'^2+a_{33}z'^2+2a_{12}x'y'+2a_{13}x'z'+2a_{23}y'z'+f(x_0,y_0,z_0)=0.@d

Daca $$a_{12}=a_{13}=a_{23}=0$$, atunci cuadrica este in forma canonica.

Daca cel putin unul din coeficientii $$a_{12},a_{13},a_{23}$$ este nenul, atunci efectuam o rotatie a reperului cartezian, folosind metoda valorilor si vectorilor proprii. Consideram forma patratica $$\Phi:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R},$$@d\Phi(x',y',z')=a_{11}x'^2+a_{22}y'^2+a_{33}z'^2+2a_{12}x'y'+2a_{13}x'z'+2a_{23}y'z' @d

Se determina valorile proprii $$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$$ ale matricei @dA=\left(\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{array}\right),@d precum si vectorii proprii ortonormati corespunzatori $$\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3}$$.

In reperul cartezian $$\{C;\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3}\}$$, cuadrica are ecuatia canonica
@d\lambda_1X^2+\lambda_2Y^2+\lambda_3Z^2+f(x_0,y_0,z_0)=0 @d
iar relatiile dintre coordonatele $$x',y',z'$$ si $$X,Y,Z$$ sunt
@d\left(\begin{array}{c}x'\\y'\\z'\end{array}\right)=S_{BB'}\left(\begin{array}{c}X\\Y\\Z\end{array}\right) @d
unde $$S_{BB'}$$ este matricea de trecere de la baza $$B=\{\vec{i},\vec{j},\vec{k}\}$$ la baza $$B'=\{\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3}\}$$.
Daca $$\delta=0$$, atunci cuadrica este fara centru. In acest caz se efectueaza mai intai o rotatie folosind metoda valorilor si vectorilor proprii, urmata de o translatie adecvata.

Last modified: Wednesday, 9 April 2014, 06:03 PM
Skip Navigation

Navigation