Geometrie analitica si diferentiala

Conice fara centru

Fie conica de ecuatie

@da_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,@d

avand invariantii $$I=a_{11}+a_{22},\ \delta=\left|\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{array}\right|,\
\Delta=\left|\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\
a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{array}\right|$$.

Daca $$\delta=0$$, atunci conica nu are centru de simetrie unic, deci este de tip parabola. In cazul nedegenerat ($$\Delta\ne0$$), se obtine forma canonica

@dY^2=\pm2pX,\text{ unde }p=\sqrt{-\frac{\Delta}{I^3}}.@d

Semnul $$\pm$$ in ecuatia anterioara se alege in functie de pozitia parabolei fata de axele de coordonate ale reperului initial, intersectand parabola cu aceste axe.

Ecuatia axei de simetrie a parabolei este
@da_{11}(a_{11}x+a_{12}y+a_{13})+a_{12}(a_{12}x+a_{22}y+a_{23})=0@diar coordonatele varfului parabolei se obtin intersectand parabola cu axa de simetrie, deci rezolvand sistemul format din ecuatia anterioara si ecuatia initiala a conicei.

Coordonatele $$X,Y$$ corespund unei rotatii de unghi $$\theta$$ dat prin

@d\operatorname{tg}\theta=-\frac{a_{11}}{a_{12}},@d

deci legaturile dintre coordonatele initiale $$x,y$$ si cele in care avem forma canonica $$X,Y$$ sunt

@d\begin{cases}x=x_0+X\cos\theta-Y\sin\theta\\y=y_0+X\sin\theta+Y\cos\theta\end{cases},@d

$$(x_0,y_0)$$ fiind coordonatele varfului parabolei.

Last modified: Saturday, 15 March 2014, 02:58 PM
Skip Navigation

Navigation